Обсудить на форуме
Качественная единица как элемент
размерностного анализа или
к вопросу о размерности "безразмерных" величин
А.Н.Митрохин
Нобелевский лауреат В.Гейзенберг следующим образом характеризовал проблему адекватности понятий в науке [6, с.92]: «Первая предпосылка познания явлений природы —
введение адекватных понятий; лишь с помощью верных понятий
мы в состоянии понастоящему
знать, что мы наблюдаем».
В настоящее время в точных науках (математике, физике, метрологии и др.) широко используется термин-понятие «безразмерная величина», смысловое значение которого, как показывает обзор научно-технической литературы, до конца не раскрыто. Такое положение в науке не может не вызывать вопросов, и поэтому в печати можно найти достаточно примеров, где авторы справедливо ставят вопрос о необходимости устранения указанного и других недостатков, в том числе относящихся к Международной системе единиц (СИ). В настоящей статье, на основе новых подходов, в том числе посредством введения в понятийный оборот нового термина - качественной (размерностной) единицы, автору удается решить имеющиеся неувязки понятийного аппарата математики, физики, метрологии. Устранение неувязок сопровождается новыми требованиями к формированию единиц измерений, что нашло отражение в статье в виде сравнительного анализа фрагментов Международной системы единиц (СИ) и фрагментов уточненной системы единиц измерений.
1 м/1 м=1 = 1 рад
ISO 31 - 0
В широко известной в мире прикладных наук работе [3], посвященной анализу размерностей физических величин, П.Бриджмен, много сделавший для становления теории размерностного анализа, в конце вводной главы ставит перед собой несколько вопросов, среди которых наибольший интерес для данной статьи представляет следующий: "В чем смысл величин, не имеющих размерностей?".
И хотя упомянутый автор берет на себя обязательство по мере подачи материала последовательно отвечать на поставленные вопросы, однако, к большому сожалению, он как бы забывает о своем обещании и на некоторые из них ответа в его книге мы не находим [4].
Не дан ответ и на вопрос о физическом смысле безразмерных величин. А вместе с этой неопределенностью перед нами в полный рост встает проблема адекватности понятий, которая принципиально важна не только для рассматриваемого случая — данная проблема сопровождает человека постоянно на протяжении всей его жизни, независимо от сферы деятельности. Использование адекватных понятий — это альфа и омега взаимопонимания между людьми на любом уровне их общения.
Древнегреческий мыслитель Сократ о проблеме адекватности понятий высказался так [5, с.50]: «Точное логическое определение понятий — главнейшее условие истинного знания»
Более того, как следует из [3], П.Бриджмен не только не раскрывает смыслового содержания
безразмерной величины, он сам становится "пленником" этого понятия, что со всей очевидностью следует из приведенных в книге [3] примеров по решению задач с применением П-теоремы. Безразмерная величина, как показывает обзор учебной и научно-технической литературы, благополучно "прописалась" не только в анализе размерностей, она прочно утвердилась во всех разделах наук, где используется математический аппарат. Как только возникает необходимость сравнения однородных величин, осуществляемого посредством математической операции деления, так сразу же появляется неизбежный спутник — безразмерная величина, легко угадываемая под различными словесно-смысловыми обличьями [4,8,9,10]. Например, в книге [8], посвященной рассмотрению вопросов теории подобия и физического моделирования в области электротехники, на стр.11 отношение однородных величин характеризуется безразмерными числами (называть число безразмерным нет никакой необходимости, т.к. само по себе число не несет размерности в физическом смысле, поэтому примененное словосочетание логически ущербно и напоминает выражение типа "масло масляное") , которые тут же одновременно названы коэффициентами подобия, а также масштабами, а также базисными величинами. Между тем далее на стр.38 [8] говорится, что базисные величины, т.е. безразмерные числа, по ранее данному автором упомянутой книги определению, все же имеют размерность, а вот уже отношение этих базисных величин не имеет размерности. Ситуация, надо сказать, очень напоминает сказку про белого бычка. Поэтому, несмотря на то, что в учебной и научно-технической литературе
безразмерная величина является одним из часто встречающихся терминов, к которому привыкли и притерпелись, тем не менее она остается по сей день, из-за ее смысловой нерасшифрованности, спорным элементом понятийно-терминологического аппарата физики, математики, метрологии.
Продвинулась ли наука в решении этого вопроса за последнее время? Конечно, эта проблема постоянно привлекала внимание специалистов, но по сути ничего не изменилось со времен П.Бриджмена. Современная научно-техническая и учебная литература в изобилии пестрит этим понятием, хотя толком никто не может объяснить, в чем же заключается смысл этой "безразмерности", происхождение которой во многом обязано математической операции деления. Согласно существующим математическим правилам при делении однородных величин остается "безразмерное" число, однако, как мы убедились выше, у прикладников абсолютной идентификации с числом не происходит, напротив, продолжает сохраняться скрытый физический смысл, связанный с исходными величинами. Причем это смысловое наполнение может интерпретироваться неоднозначно, ему могут придаваться различные смысловые оттенки.
Рассмотрим для уяснения проблемы две простые арифметические задачи. В первом случае разделим число 100 на число 10, в результате получим: 100 /10=10. Во втором случае, отвечая на вопрос — сколько дециметров содержится в отрезке длиной 100 см? — выполним операцию деления над двумя однородными физическими величинами. В результате, поделив числа и сократив размерности, получим: 100 см /10 см=10.
Из приведенных упражнений следует, что результаты деления по форме в обоих случаях совпадают. Однако из сопоставления решений можно сделать очень интересное наблюдение — оказывается, деление чисел и деление величин, состоящих из числа и размерности, — это отличные процедуры. Во втором примере в ответе присутствует не только числовое значение, но будет подразумеваться и смысловое содержание, хотя в обоих примерах математика выдает нам, казалось бы, одинаковый результат. Несмотря на схожесть формы, содержание ответов будет разное. Во втором случае полный ответ будет означать, что в 100 сантиметрах содержится 10 дециметров и, следуя логике международного стандарта [1], мы можем записать последнее математическое равенство следующим образом: 100 см/10 см=10=10 дециметров.
Такая форма записи не должна вызвать возражений, она вытекает из условий задачи, т.к. ответ в виде числа 10 нас не устроит, он неполон и не дает ответа на поставленный вопрос. Следовательно, число 10 в решении второй задачи - это не совсем число, а нечто иное, очень похожее на безразмерную величину, которая далее приобретает черты полноправной физической величины с размерностью длины. Операции с размерностями во втором примере свидетельствуют о том, что дециметр, несмотря на то, что в СИ он имеет статус дольной единицы измерений, содержит несомненные признаки безразмерной величины.
В связи с этим напрашивается следующий простой вопрос (подобно П.Бриджмену, в книге которого присутствует критик Мефистофель, задающий каверзные вопросы, в данной статье аналогичные вопросы ученым дядям и тётям будем задавать и мы), а если по каким-либо причинам в качестве основной меры длины был выбран дециметр, то в этом случае метр бы стал безразмерной величиной или не стал? Скорее всего стал бы, поскольку в метрологии сейчас существует положение, когда физическая величина при одних обстоятельствах имеет размерность, при других та же физическая величина может оказаться "безразмерной" [11].
Особенно отчетливо проблема "безразмерности" видна на примере угловых единиц измерений — радиана, градуса и других, которые никак не хотят вписываться в существующие каноны. Мало того, что они причислены к безразмерным единицам измерений, их периодически относят то к дополнительным, то к производным внесистемным единицам измерений. Отечественная метрология, например, предлагает включить их в состав основных единиц измерений СИ. И полемика об определении статуса угловых единиц измерений идет с давних пор, она продолжается и сейчас. О важности этого вопроса свидетельствует то, что он постоянно находится в центре внимания Международной организации по стандартизации (ISO).
Имеющиеся неувязки, наличие своеобразных "белых пятен" в
понятийном поле точных наук, конечно, налагает свой отпечаток на настроения в научном мире, и время от времени неудовлетворенность существующим положением выплескивается на страницы печати. О том, что автор статьи не одинок в стремлении понять и разрешить имеющиеся противоречия и не является в некотором смысле "белой вороной", свидетельствуют нижеследующие примеры. Так, в [12] высказываются следующие замечания в отношении угловых единиц измерений [12, с.56]:
"...физической величине, официально размерности не имеющей, разрешено иметь единицу измерения, которой присвоено наименование "радиан".
Допускаются к применению и такие единицы измерений плоского
угла, как градус, минута и секунда, являющиеся долями другой единицы измерения (360°или 2% радиан), которой никакое наименование официально не присвоено. На
практике же для обозначения этой
единицы измерения пользуются
наименованием "оборот", "период". Такая неопределенность не может не приводить к путанице как в учебном процессе, так и при практическомиспользовании, с чем и приходится нередко сталкиваться".
Именно с этой путаницей постоянно сталкиваются при применении ГОСТ 8.417-2002 [13], ГОСТ 24346-80 [14], ГОСТ 24347-80 [15] и оперировании единицами измерений таких физических величин как частота, угловая частота гармонических колебаний, частота вращения, угловая скорость, что и явилось причиной появления [2]. О путанице с единицами измерений упомянутых физических величин свидетельствуют и другие авторы [16, с.9]. Из-за путаницы в упомянутых стандартах встречаются расчетные ошибки в научно-технической литературе, примеры которых даны в [2, 17]. Логично предположить, что имеющаяся путаница вряд ли останется только на бумаге, ибо путаница в нормативных документах где-то обязательно приведет к путанице в практических делах. И если есть возможность избавиться от нее, то необходимо использовать эту возможность. В этом отношении прекрасный пример положительного отношения к разрешению путаницы, имевшейся в свое время с мерами массы и веса, приведен в [18, с.12]. Далее автор этой "сердитой" статьи подвергает критике безразмерные величины, размерность которых, как он верно подмечает "... численно равна единице, хотя физическое содержание этих величин может кардинальноотличаться друг от друга?", заключая свое недовольство существующим положением в следующую фразу, где он с долей издевки констатирует [12, с.56]: "Все перечисленные алогизмы заставляют сделать вывод о том, что пришла пора прекратить политику страуса, прячущего голову в песок".
В памятке по химии, разработанной коллективом преподавателей, отмечается [19, с.9]: "Наряду с обычными существуют безразмерные величины — у них нет единиц измерений, а есть только числовые
значения. В СИ безразмерными оказываются также атомные и молекулярные массы, что непонятно
ипоэтому плохо." И далее на стр. 13 в примечании к таблице 1 памятки читаем: "Естественная единица измерений числа частиц штука пока не узаконена. В результате эта величина оказывается ... безразмерной, а постоянная Авогадро имеет абсурднуюе диницу измерений моль -1 (чего "на моль"?)". И второе примечание к таблице 1 памятки [19]: "В СИ есть только одна единица измерений массы — кг, поэтому в СИ атомная масса нуклида, атомнаямасса химического элемента и молекулярная масса являются относительными
безразмерными величинами и называются «относительная атомная
(соответственно — молекулярная) масса". В химии это крайне неудобно".
Следующий автор [22], опять же представитель преподавательского корпуса, поднимает проблему формирования у учащихся физических понятий, определяемых формулой С=а/Ь.
Штука не узаконена в СИ и соответственно в отечественных метрологических стандартах, т.е. де-юре такой единицы измерения не существует, однако де-факто, т.е. в реальной жизни, она узаконена в русском языке очень давно, можно сказать со времен Кирилла и Мефодия. В статье [7] приводится пример, из которого следует, что штука не только вполне приемлемая, но очень удобная, универсальная и потому повсеместно используемая единица измерений, которая в какой-то мере даже узаконена, т.к. упомянутый в [7] статистический сборник, предназначенный для железнодорожного транспорта, утвержден в 1992 г. Госкомстатом России. Примеры использования других "незаконных" единиц измерения можно дополнить школьной практикой [20], где учительница математики средней школы делится опытом преподавания по решению арифметических задач с помощью ею же придуманных из условий задачи вспомогательных единиц измерений. В работе [2] автор данной статьи расширяет границы действия термина единица измерения, ограниченные СИ и отечественными метрологическими стандартами рамками только физических величин, и штука естественным образом становится полноправным участником размерностного анализа. В метрологической практике идут по другому пути, развивая, параллельно СИ, теорию шкал измерений, где штуке присвоен статус безразмерной естественной единицы измерения в ряду других абсолютно безразмерных величин [21]. Сразу же напрашивается следующий вопрос - а какой окажется размерность, например, у такой единицы измерения, как «штук букашек/м2», где объединены абсолютно безразмерные величины и основная физическая величина СИ?
И хотя в статье термин безразмерная величина не фигурирует, характерно следующее высказывание [22, с.73]: "В математике, которая абстрагируется отреального содержания величин, отношение есть число. <...> Смысл физической величины, определяемой через отношение двух других, от учащихсяскрыт. Даже те, кто знает, что отношение означает операцию
деления, не видят в ней физического содержания".
Конечно, изложенные мнения — это малая толика информации, которая материализовалась в виде
публикаций и которой располагает автор статьи. Можно предположить, что подобный критический
взгляд могли бы высказать многие
специалисты, в особенности работающие в сфере прикладных наук,
но, как это нередко бывает, человеку просто лень браться за перо и,
безусловно, приведенные примеры — только видимая часть «айсберга» недовольства существующим положением.
Для разъяснений целесообразно обратиться к нормативным документам по метрологии. В действующем с 01.01.2001 г. межгосударственных рекомендациях РМГ 29-99 [11] существование безразмерной величины узаконено и предложено следующее ее толкование: безразмерная величина —
физическая величина, укоторой показатель степени основных величин равен нулю. Может ли снять вышеозначенные проблемы приведенное в РМГ 29-99 определение безразмерной величины, идентично существовавшему ранее в ГОСТ 16263-70 [23]?
Из рассмотренных выше примеров ясно, что проблемы не решаются и "бриджменовский" вопрос сейчас столь же актуален, как и прежде. Новые рекомендации, следуя по накатанной дороге, не расстались со старым багажом — документ хотя и нов, а содержание осталось прежним. В этом отношении показательна статья [21], в которой, дискутируя с
[12], а также другими авторами, сделана попытка разрешения имеющихся неувязок и противоречий на основе
сохранения прежних подходов. Как и следовало ожидать, рамки существующей метрологической парадигмы не позволили это сделать. Несмотря на ждущий своего разрешения "бриджменовский" вопрос, перед нами в статье [21] мелькают все те же безразмерные величины (условно безразмерные, абсолютно безразмерные), безразмерные единицы измерений. Статья изобилует терминами, связанными с понятием "единица" (насчитывается около двух десятков терминов), в том числе: безразмерная единица, арифметическая единица, естественная единица, единица абсолютной шкалы, радианная единица и т.д., что не способствует пониманию материала.
Рекомендуемая в [21] теория шкал, построенная на основе объединения безразмерных величин и как бы противопоставляемая СИ, в данном случае мало помогает. Поэтому не только содержание статьи, но уже ее заголовок вызывает вопросы.
Во-первых, непонятно о чем идет речь, то ли о единицах измерений, то ли о числовых единицах различных множеств, которые, как отмечалось выше, нет нужды называть безразмерными.
Во-вторых, если под "единицами" подразумеваются единицы измерений, которые вряд ли могут быть безразмерными, то авторы совершают большую ошибку, отождествляя понятия "единица" и "единица измерения". Это равносильно тому, как если бы, например, идиоматический оборот "Ахиллесова пята" заменить словом "пята", смысл в обоих случаях получается различный, подробно этот вопрос автором рассмотрен в [7].
Анализируя полемику в [21], а также исходя из собственного опыта обкатки содержания работ [2, 17], возникает ощущение, что некоторые оппоненты от метрологии, из числа не сомневающихся в существовании безразмерных величин, имеют дело не со зрелыми специалистами, которым имеющиеся в стандартах неувязки мешают в практической работе при использовании единиц измерений, а слабо успевающими подростками, едва осилившими начальный курс математики и физики, и которых надо еще учить и учить уму-разуму, поскольку они и этого не знают, и того не понимают.
Вышеизложенное показывает, что в науке на стыке таких дисциплин как метрология, математика, физика существует ряд «белых пятен», препятствующих адекватному описанию окружающей нас действительности, и
одним из них является термин - понятие безразмерная величина. Складывается впечатление, что в "большой" науке к этому важному и отнюдь не лингвистическому вопросу относятся по принципу персонажа из рассказа А.П.Чехова «Письмо к ученому соседу»: «и зачем ... пятны, если и без них можно обойтиться».
Что же следует понимать под
«безразмерностью»? Скорее всего, это чистая условность, какая существует, например, в русском языке в названиях безымянный палец или железнодорожная станция
Безымянка Куйбышевской железной дороги. Для подтверждения этой условности в точных науках прислушаемся к следующему рассуждению Л.И.Седова, известного отечественного ученого, много уделявшего в своих трудах вопросам анализа размерностей физических величин [4, с. 13]:
«Подразделение величин на размерные и безразмерные является до некоторой степени делом условности. Так, например, угол мы называембезразмерной величиной. Но известно, что углы можно измерять в радианах, в градусах, в долях прямого угла, т.е. в различных единицах. Следовательно, число, определяющее угол, зависит от выбора единицы измерения. Поэтому угол можно рассматривать и как величину размерную».
Эта условность, как уже было отмечено выше, состоит сейчас в том, что физические величины могут оказаться «безразмерными» при переводе в другую размерностную систему [11]. Все это свидетельствует о шаткости границ между размерными и «безразмерными» величинами.
Имеющийся «размерно-безразмерный» дуализм, несомненно, противоречит основным законам логики, т.к. понятия взаимоисключают друг друга, физическая величина не может быть одновременно размерной и «безразмерной».
Подобное положение несколько напоминает ситуацию в физике, когда ученые, изучая закономерности микромира, впервые столкнулись с дуализмом фотона, который в одних случаях проявлял свойства волны, а в других - свойства частицы.
Откуда возникают безразмерные величины? У истоков их появления стоит, что подтверждается приведенной выше выдержкой из [22], математика, а точнее математическая операция деления, которую следует рассмотреть более внимательно, более придирчиво. Как известно, начиная с первых классов начальной школы, математика, в образе учителя математики, приучает нас к мысли, что математические операции (счет, сложение, вычитание, деление и др.) являются операциями над числами.
Например, в толковом математическом словаре [24] говорится, что арифметика, являющаяся основанием математики, - это часть математики, изучающая числа и простейшие действия над ними. Такое же определение содержится в учебнике первого класса начальной школы, при пользовании которым ученику в процессе обучения прививается мысль, что арифметика изучает числа и действия над ними [25].
В науке принято считать, что математические величины — суть действительные числа [26, т.4; 27, т.1; 28, с.112] и поэтому математика предпочитает заниматься только числами. Анализ размерностей при этом отделен от математики, и по мнению математиков, а точнее «чистых» математиков, это дело физики, метрологии или какой-либо другой ветви науки. Однако, всем нам хорошо известно, что при решении конкретных задач (бытовых, инженерных, научных), например при делении величин, необходимо осуществлять два параллельных математических действия — деление чисел и деление (взаимодействие) размерностей. В случае неоднородности единиц измерений числителя и знаменателя происходит своеобразное сращивание размерностей, объединяемых знаками деления или умножения.
Математическая операция деления в привычном для нас приложении к числам плохо подходит к тому, что происходит в этом случае с размерностями. По сути, никакого деления здесь не наблюдается. Скорее это можно назвать взаимодействием в математическом смысле (подобно тому, как, например, в химических реакциях происходит слияние или разделение атомов и молекул, в результате чего возникают новые свойства веществ) и поэтому автор статьи не смог подобрать лучшего термина в названии [2]. Об этой проблеме свидетельствует полемика ученых в книге П.Бриджмена [3, прил. к гл. 2].
В результате этого математического сращивания возникают новые понятия, новые размерности, что хорошо видно на примере образования единиц измерений скорости движения.
В случае одинаковости единиц измерений при делении происходит их сокращение и формально по существующим математическим правилам мы получаем в результате деления чистое «безразмерное» число.
Но, как показано выше, результат деления математических величин все же не является только числом, частное от деления несет, кроме количественной оценки, и качественное содержание, ассоциируемое у прикладников с безразмерной величиной.
Рассматривая пути решения неувязок понятийного аппарата точных наук и анализируя уравнения математической физики, приходим к выводу, что математические операции следует рассматривать не только как операции над числами, но как операции над математическими величинами, состоящими из числовой и размерностной частей [2].
В силу этого предложено размерностный анализ отнести к математике, он должен стать ее естественной и неотъемлемой частью, поскольку в обоих случаях действуют законы математики, хотя алгебра операций с числами и размерностями различна. Такой подход дает дополнительные возможности для решения имеющихся неувязок, включая проблему безразмерных величин. Одна из таких возможностей состоит в четком различении числовой единицы и качественной (размерностной) единицы, отражающей взаимодействие однородных единиц измерений в операции деления, что более подробно рассмотрено в [2,17].
Для пояснения вернемся к арифметической задаче, помещенной в начале статьи, решение которой получено в виде 100 см/10 см=10=10 дециметров. Из равенства следует, что после сокращения единиц измерений делимого и делителя исчезновения размерности не происходит (что, заметим, хорошо согласуется с законами сохранения), в последующих рассуждениях мы видим ее «возрождение», поэтому желательно каким-то образом отразить промежуточный результат этого взаимодействия, представленный числом 10. Таким средством может стать качественная единица, отражающая результат сокращения размерностей. Поэтому вышеприведенное равенство примет вид 100 [см] / 10 [см] =10[1]=10 [дециметров]. Таким образом, при делении однородных математических величин мы получаем не безразмерностное количественное содержание, но полновесную математическую величину, состоящую из количественной (числа) и качественной (размерности) частей, хотя для представления качественной части математике явно не хватает более эффективных, с точки зрения последующей расшифровки их субъектом исследования, средств. При наличии качественной единицы математика, имея ограниченные возможности, предоставляет право самому субъекту исследования принимать решение в зависимости от поставленных вопросов о характере смыслового содержания (характере размерности) математической величины. Это свидетельствует о том, что качественная единица по своему внутреннему содержанию многолика, и суть ее содержания, несмотря на форму, не количество, а качество, т.е. размерность. Аналогичные рассуждения будут справедливы в отношении любой другой математической величины, разумеется мы придем к тем же выводам.
Качественная (размерностная) единица, отражающая взаимодействие размерностей при выполнении операции деления над однородными математическими величинами, вносит существенные коррективы в понимание сущности операции деления.
Во-первых, она исключает «безразмерность» результатов деления математических величин, тем самым давая серьезные основания для избавления от безразмерных величин.
Во-вторых, принимая во внимание, что алгебра операций с символами размерностей отличается от обычной алгебры, некоторые формулы размерностного анализа предстанут перед нами в новом виде.
В частности, поделив длину на длину в выше приведенном примере, мы получим ту же длину или облекая это в математическую форму:
L/L = Ln, (1)
где L в числителе — длина измеряемого отрезка,
L в знаменателе — длина образца (эталона),
L — количество эталонных отрезков длины (в нашем случае дециметров), уложившихся в измеряемом отрезке.
В современной же трактовке формула (1) в анализе размерностей выглядит, как известно, следующим образом [29, 30, 31]: L/L=1. Следует заметить, что результат деления длины на длину может и не быть длиной, все зависит от содержания вопроса.
Например, ставя задачу выяснения во сколько раз один отрезок больше другого, мы получим в этом случае ответ в разах, хотя в частном от деления будет стоять все та же качественная единица.
Из-за многоликости качественной единицы ее расшифровка полностью зависит не только от содержимого знаменателя и числителя, но и от содержания вопроса, ответ на который предусматривается получить посредством математической операции деления.
Качественная единица дает ключ к уточнению статуса угловых единиц измерений, при этом, как показано в [2], измерению подвергается не угол, который, если следовать существующему определению угла как геометрической фигуры или части площади, однозначно измерить невозможно, а длина дуги окружности между двумя линиями.
В свою очередь мерой длины дуги окружности является радиан — часть окружности, равная по длине радиусу этой же окружности. Такой же мерой является и физическая константа л, содержащая 6,283... радиана.
Под измерением угла следует подразумевать процедуру измерения величины раскрытия (раствора, степени непараллельности) двух линий или двух плоскостей.
В результате угловые меры закономерно приобретают статус основных мер. Размерностью угловых мер является длина, точнее длина кривой линии, измеряемая неявной единицей измерения — радиусом - радианом этой же окружности [2]. Радиан следует определить в качестве основной меры, а угловые градус, минута, секунда предстанут как доли радиана-радиуса.
Камнем преткновения в современном анализе размерностей для решения вопроса «безразмерности» является также существующее определение размерности, сводящееся к тому, что размерность — это формула. Ограничивая понятие размерности пределами только физических величин и воспринимая ее как формулу, составленную из символов основных физических величин, мы сознательно ограничиваем свои возможности.
Понятию размерность этот формульный «костюмчик» явно тесен, что подтверждается не только исследованиями автора статьи.
Новый подход к математическим операциям дает основание пересмотреть кардинальным образом определение этого понятия, и в авторской редакции размерность трактуется как качественная часть математической величины[2].
Иначе говоря, все то, что прилагается нами к числу в виде смыслового содержания, это и есть размерность.
Автор статьи не одинок в стремлении рассматривать математическую величину как двуединое понятие, состоящее из количественной (числа) и качественной (размерности) частей. Такие вопросы в науке поднимались неоднократно, начиная с Аристотеля. В начале XX века, например, эта тема исследовалась в трудах Н.А. Морозова [32], где он, рассматривая различные математические операции, сформулировал закон изотезичности, звучащий следующим образом: всякое математическое равенство заключает в себе полный и законченный логический смысл только в том случае, когда обе его части изотезичны, т.е. представляют те же самые тезисы, состоящие из одноименных величин.
Разумеется, формульное представление размерности в виде символов физических величин не исключается, такая форма записи становится частным случаем выражения размерности физических величин. При этом не следует искать в размерности какойто особый глубинный смысл, наличие размерности не дает гарантии исключения научного заблуждения.
Для более полного уяснения изменений, которые вносит новый подход к математическим операциям, рассмотрим построенный на принципах Международной системы единиц (СИ) действующий с 01.09.2003 г. отечественный стандарт ГОСТ 8.417-2002 [13J, фрагмент которого приведен в таблице 1, и сравним с результатами исследований, представленными в таблице 2.
Отличия видны уже в «шапке» таблицы. Далее, измерение длины в таблице 2 предусмотрено двояким образом: измерение прямой линии производится посредством принятой в данной размерностной системе образцовой единицы измерения длины (в СИ, например, это метр), измерение длины дуги окружности (кривой линии) производится посредством неявных единиц измерений — радиуса окружности или физической константы Пи, содержащей 6,283...радиуса, одинаково употребимых для любой размерностной системы.
После пересчета длина кривой линии (части окружности) может измеряться также, как и прямой линии, т.е. посредством образцовой единицы измерения длины.
Измерение плоского угла предусмотрено посредством радиана - дуги окружности, длина которой равна радиусу этой же окружности. Соответственно угловая скорость имеет единицу измерения «1/с», т.е. «радиус в секунду». Становится ненужной такое понятие, как «угловая частота колебаний», представляющая собой, как показано в [2, 17], не что иное, как угловую скорость.
Важной особенностью таблицы 2 является форма сокращенной записи единиц измерений ряда физических величин, которая претерпела изменения в связи с появлением качественной единицы. Краткая форма записи учитывает новые подходы и приведена в соответствие с содержанием.
Например, при сокращенной записи единицы измерения скорости движения по окружности краткая форма имеет вид «1/с», что означает движение со скоростью один радиус в секунду. Такая форма записи является конечной, она несводима далее к «с-1», поскольку качественная единица по своему внутреннему содержанию не является числом.
Далее, анализируя такие понятия, как «частота колебания» и «частота вращения», можно видеть, что их размерность не может быть сведена к обратному времени, т.е. к «Т-1», поскольку физические понятия «колебание» и «оборот» имеют самостоятельный понятийный статус, поэтому в формульной трактовке размерность указанных физических величин следует определить как «колебание/время» и «оборот/время».
Следующей особенностью таблицы 2 в сопоставлении с таблицей 1 является устранение совпадения размерностей момента силы и работы (энергии), что сейчас имеет место и отмечается как недостаток [33, с. 17].
В новой трактовке единица измерения момента силы будет представлять собой отношение единицы измерения работы (энергии) к единице измерения длины дуги, каковой является радиан, т.е. [Н м] / [1 ], что следует из формулы А=Мф.
В таблице 1 приведен ряд физических величин, имеющих одинаковую размерность, обусловленную такой единицей измерения как «метр в минус первой степени» (обратный метр), сокращенно записываемый «м1».
К ним в настоящее время относятся «кривизна линии» [30, с. 133], «волновое число» [13, с.с.4, 24; 30, с.283], «оптическая сила» [13, с.14;30, с.302].
Как установлено в [2], волновое число представляет собой количество радиусов сопутствующей (вспомогательной - термин введен автором статьи в [2] всвязи с тем, что при математической интерпретации колебательного движения
решение уравнения колебательного движения осуществляетсячерез
круговые (тригонометрические) функции при посредстве параметра ф — виртуальной скорости движения по окружности, которой вреальном колебательном процессе не существует) окружности, укладывающихся в длине волны, поэтому размерностью волнового числа является не «обратный метр», а отношение неявной единицы измерения длины — радиуса сопутствующей окружности к образцовой единице измерения длины — метру, что в сокращенном виде может быть представлено как «1/м».
|
Анализируя оставшиеся две другие физические величины, можно видеть, что в случае определения кривизны линии в качестве контрольного отрезка длины берется радиус, в случае же определения оптической силы — фокусное расстояние линзы. Поэтому единицами измерений упомянутых величин будут соответственно являться "1/[м]" и «диоптрия». Следует остановиться на разъяснении формы записи «обратного метра», который в настоящее время сокращенно записывается в виде «м1». Поскольку эту запись следует воспринимать как «1/м», а это размерность волнового числа, то становится ясным, что существующая краткая форма записи «обратного метра» не соответствует его содержанию.
Правильной сокращенной формой записи «обратного метра» будет являться «1/[м]=[м]-1», т.е. в этом случае степенная форма записи может быть и приемлема, но минус единица должна быть вынесена за скобки. Здесь единица в числителе — это числовая единица.
В связи с вышеизложенным остановимся на анализе одной математической зависимости, рассматриваемой в разделах теоретической физики, относящейся к изучению волновых процессов.
Эта зависимость выглядит следующим образом [34, т.2, с.194]:
?W • ?t = 1, (2)
где ?W - интервал частот (вокруг средней частоты со), с-1;
?t - промежуток времени, с.
Соотношение (2) согласно [34], выражает неопределенность между сопрягаемыми физическими величинами, характеризующуюся безразмерностной пустой единицей. Рассмотрим формулу (2) в свете полученных результатов. Первый сомножитель представляет собой интервал скоростей движения по окружности ?W.
Из таблицы 2 следует, что скорость движения по окружности (угловая скорость) измеряется радиусом в секунду, в сокращенной записи — «1/с», поэтому ?W, определяемая как W1-W2, будет иметь размерность «1/с».
Аналогичное положение с интервалом времени, где ?t=t1 - t2= ?t [с]. Перепишем (2) с указанием размерностей сомножителей:
Из анализа исходных физических величин следует, что в (3) осуществляется умножение скорости движения на время, а это значит, что в результате мы должны получить пройденное расстояние. Поэтому равенство (2) согласно всем физико-математическим правилам приобретет следующий вид:
Полученная формульная трактовка известной зависимости пройденного пути от времени и скорости, независимо от того, что хочет выразить тот или иной автор, соответствует общеизвестным понятийным формам записи, невзирая на уровень изучения проблемы — будь это учебник физики средней школы или самые современные труды по проблемам квантовой механики.
Произведение скорости движения и времени всегда будет характеризоваться не безликой безразмерностной единицей или другим непонятным результатом, а пройденным расстоянием.
В данном случае мы имеем дело с диапазоном скоростей ?W, диапазоном времени ?t и диапазоном пройденного пути ?S по окружности. В этом и состоит истинный смысл соотношения (2), когда неопределенности времени и скорости соответствует неопределенность величины пройденного расстояния.
Некорректность формулы (2) вызвана двумя обстоятельствами, а именно: тем, что со измеряется согласно существующим научным положениям в «с-1», а также тем, что качественная единица не является элементом размерностного анализа.
Поэтому, конечно, следует считать заблуждением, когда по всему учебнику [34] красной нитью проходит утверждение, что со, т.е. скорость движения по окружности, является частотой (здесь уместен
очередной вопрос в адрес «большой» науки— а так ли уж безобидно для физики положение, когда скоростьназывают частотой?).
Примеры ошибочного толкования со можно привести из других учебников и работ, посвященных изучению и решению проблем современной физики [35, с. 10; 36, 37].
В современном анализе размерностей применяется такое преобразование, как рационализация уравнений [29, с. 136; 38, с. 115], заключающееся в исключении множителей 4л и 2л из уравнений, связывающих электромагнитные физические величины, при этом до и после рационализации название физических величин, физических понятий и их единиц измерений как правило сохраняется.
Результаты данной работы показывают, что при делении какой-либо математической величины на физическую константу Пи (заметим, кстати, что для выполнения этой математической операции нужны некоторые дополнительные условия, вытекающие из реального физического процесса) будут изменяться не только численные значения математических величин, но и их размерности, т.е. одновременно меняется смысловое содержание физической величины, при этом будут образовываться новые понятия, что хорошо видно на примере скорости движения по окружности со с единицей измерения «1/с», когда при делении на 2Пи она преобразуется в новую физическую величину - частоту вращения или частоту колебания с единицами измерения «оборот/ секунду» или «колебание/секунду». Поэтому специалистам в области электромагнитных величин следует обратить внимание на это обстоятельство.
Сказанное выше относится и к постоянной Планка — физической константе, которая в настоящее время имеет два обозначения: в виде h и
h, отличающиеся между собой множителем 2Пи. По сути одна из этих физических величин не является постоянной Планка.
В заключение следует сказать, что, как видится автору статьи, качественная (размерностная) единица объективно отражает закономерности, существующие в сфере количественных отношений, ведущая роль в изучении которых принадлежит математике.
Введение в сферу размерностного анализа нового термина - понятия каким является качественная единица, а также расширенное толкованиепонятия размерность дают основание утверждать, что безразмерных величин просто не существует.
Такой вывод не покажется бездоказательным,
если размерностный анализ, кстати, необоснованно исключенный из
школьного курсаматематики, по поводу чего в свое время сетовал академик А.Н.Колмогоров
[39], рассматривать как естественную часть математики и физики, а не в качестве особняком стоящей самостоятельной научной ветви, которой изредка уделяют внимание отдельные
специалисты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Quantities and Units - Part 0: General principles. International Standard ISO 31-0: 1992(E). Third edition 1992-08-01. Switzerland.-1992.- 21 p.
2. Митрохин А.Н. О взаимодействии размерностей в математических преобразованиях.- М.Транспорт, 1996.-102 с.
3. Бриджмен П.В. Анализ размерностей. / Пер. со второго англ. изд. под ред. акад. С.И.Вавилова. Л.-М.: ОНТИ. Гос. технико-теорет. изд.-1934.-120 с.
4. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- 8-е изд., перераб.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.-440 с.
5. Исследования по истории физики и механики. 1991-1992 гг. М.: Наука, 1997.-280 с.
6. Гейзенберг В. Шаги за горизонт: Пер. с нем./Сост. А.В.Ахутин; Общ. ред. и вступ. статья Н.Ф.Овчинникова.-М.:Прогресс, 1987.-368 с.
7. Митрохин А.Н. К вопросу об адекватности некоторых понятий, определений и терминов метрологии или
слово в защиту единицы измерения //
Законодательная и прикладная метрология.-2002.-№ 5.-С.37-45.
8. Веников В.А. Применение теории подобия и физического моделирования в электротехнике. М.-Л.:
Госэнергоиздат, 1949.-168 с.
9. Кирпичев М.В. Теория подобия. М.:
Изд-во АН СССР, 1953. - 96 с.
10. Гухман А.А. Применение теории
подобия к исследованию процессов
тепло-массообмена. М.: Высшая школа, 1967.-304 с.
11. Рекомендации по межгосударственной стандартизации РМГ 29-99. Метрология. Основные термины и определения.
12. Коган И.Ш. К вопросу о размерности и единицах измерений безразмерных физических величин // Законодательная и прикладная метрология.-1998.-N4.-C.55-57.
13. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.
14. ГОСТ 24346-80. Вибрация.
Термины и
определения.
15. ГОСТ 24347-80. Вибрация.
Обозначения и единицы величин.
16. Быховский И.И. Основы вибрационной техники. М.: Машиностроение. 1968.- 362 с.
17. Митрохин А.Н. Математика и ее роль в анализе размерностей и образовании единиц измерения // Законодательная и прикладная метрология.-2000.-N5.-C.39-47.
18. Ландау Л.Д., Китайгородский А.И. Физика для всех: Движение. Теплота. Работа. Изд. 3-е, стереотип. М.: Наука - Физматлит.-1974.- 392 с.
19. Дайнеко В.И. Памятка для
решения расчетных задач по химии (школьникам, учителям, абитуриентам) /В.И.Дайнеко, С.Т.Жуков, Л.В.Денисова, Н.М.Дергунова, А.И. Лебедев, Т.Г.Холина, Г.М.Черногорова, О.Г.Шифрина. - М.: Интеллект, 1997.-49 с.
20. Царева СЕ. Введение удобных единиц измерения как метод решения текстовых задач //Математика в школе.-1997.-№6.-С.58-61.
21. Брянский Л.Н., Дойников А.С., Крупин Б.Н. Безразмерные единицы и числа //Измерительная техника.-1999.-№9.-С.З-10.
22. Свитков Л.П. К изучению физических понятий, определяемых формулой С=а/Ь //Физика в школе.-2002.-№ 7.-С.71-74.
23. ГОСТ 16263-70. Метрология. Термины и определения.
24. Микиша A.M. и Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.: Рус. яз.,1989.-244 с.
25. Моро М.И. и др. Математика: Учеб. для 1 кл. нач. шк. / М.И.Моро, М.А.Бантова.Г.В.Бельтюкова.- 17-е изд.-М.: Просвещение, 1992.-175 с.
26. Большая Советская Энциклопедия (В 30 томах). Гл. ред. А.М.Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская Энциклопедия». 1970-1981.
27. Математическая энциклопедия:
Гл. ред. И.М.Виноградов. В 5-и томах.
М.: «Советская энциклопедия». 1977-1984.
28. Математический энциклопедический словарь. /Гл. ред.
Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян,
Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков, А.П.
Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л.Онищик, А.П.Юшкевич.- М.: Советская
Энциклопедия, 1988.- 847 с.
29. Чертов А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы): Справ, пособие.- М.: Высш. шк., 1990.- 335 с.
30. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности: Учебно-справочное руководство.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-432 с.
31. Деньгуб В.М., Смирнов В.Г. Единицы величин: Словарь-справочник. - М.: Издательство стандартов, 1990.-240 с.
32. Морозов Н.А. Основы качественного физико-математического анализа и новые физические факторы, обнаруживаемые им в различных явлениях природы. - М.: типография товарищества И.Д.Сытина. 1908.-404 с.
33. Основные термины в области метрологии: Словарь-справочник /М.Ф.Юдин, М.Н.Селиванов, О.Ф.Ти-щенко, А.И.Скороходов; Под ред. Ю.В.Тарбеева.- М.: Издательство стандартов, 1989.- 113 с.
34. Ландау Л.Д. и Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособие.-В 10 т. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988-1993.
35. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы: Учеб. пособие для вузов.- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 .-256 с.
36. Алексеев К.Н., Берман Г.П.,
Цифринович В.И., Фришман A.M.
Динамический хаос в магнитных системах// УФН. 1992. Т.162. N7. с.81-118.
37. Брагинский В.Б., Халили Ф.Я.
Взаимодействие электромагнитных
и механических колебаний на уровне основного квантового состояния //
УФН. 1993. N6. T.1.C.107-109.
38. Власов А.Д., Мурин Б.П.
Единицы физических величин в
науке и технике: Справочник.- М.:
Энергоатомиздат, 1990.- 335 с.
39. Колмогоров А.Н. Современная
математика и математика в современной школе //Математика в школе.-2003.-№3.-С.10-11.
