|
Обсудить на форуме
Скачать документ полностью
Неопределенность измерений. Обобщенный порядок расчета неопределенности измерения
1 Составление модели неопределенности (математическое моделирование процесса измерения).
2 Определение оценок x1, x2, … xm-1, xm входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm, внесение поправок на известные систематические эффекты, возникающие в процессе измерения.
3 Определение оценки y результата расчета измерения выходной величины Y.
4 Определение стандартных неопределенностей u(xj) входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm.
5 Определение коэффициентов чувствительности cj.
6 Вычисление вклада стандартной неопределенности uj(y) каждой входной величины Xj в суммарную стандартную неопределенность u(y) выходной величины Y.
7 Вычисление попарной корреляции оценок xj и xk входных величин Xj и Xk.
8 Вычисление суммарной стандартной неопределенности u(y) выходной величины Y.
9 Вычисление коэффициента охвата k.
10 Вычисление расширенной неопределенности U.
11 Запись полного результата измерения выходной величины Y.
1 Модель выражает зависимость между входными величинами и выходной.
где Y – выходная величина,
X1, X2, … Xm-1, Xm – входные величины: 1-я, 2-я, … (m-1)-я и m-я соответственно,
f – некая функциональная зависимость, между выходной величиной Y и входными величинами X1, X2, … Xm-1, Xm (не путать с функцией плотности распределения вероятностей!).
В качестве входных величин в модель, кроме измеряемых величин, входят переменные, численные значения и неопределенности которых известны из внешних источников, а также поправки к результату измерений на известные систематические эффекты, основные и дополнительные погрешности примененных СИТ и т.д.
Модель не применяется в случае прямых измерений! Иными словами, это есть ни что иное, как новая интерпретация старого доброго уравнения косвенных измерений.
Прямые измерения – это измерения, при которых искомое значение физической величины получают непосредственно из опыта.
Косвенные измерения – это измерения, при которых искомую величину определяют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, т.е. измеряют не собственно определяемую величину, а другие, функционально с ней связанные.
2 Определение оценок x1, x2, … xm-1, xm входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm представляет собой нахождение их численных значений либо путем однократных (многократных) измерений, либо с использованием иных источников.
При многократных измерениях под численным значением j-й входной величины Xj понимают среднее арифметическое значение:
где nj– количество единичных наблюдений j-й входной величины Xj,
i – порядковый номер единичного наблюдения j-й входной величины Xj,
xji – численное значение (результат) i-го единичного наблюдения j-й входной величины Xj.
При этом iпринимает значения от 1 до n, а j– от 1 до m (просьба не путать теплое с мягким!).
В полученные значения вносятся поправки на известные систематические эффекты. Эти же поправки вносятся и в модель в качестве входных величин, поэтому они сами по себе являются источниками неопределенности. Еще не попустило?! Тогда, двигаемся дальше…
3 Оценку результата измерения получаем подстановкой в модель соответствующих оценок входных величин, но только после внесения поправок на все известные источники неопределенности, имеющие систематические характер:
где y – оценка результата измерения,
x1, x2, … xm-1, xm – оценки входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm соответственно.
4 Стандартные неопределенности u(xj) входных величин X1, X2, … Xm-1, Xmопределяют, как уже говорилось выше, либо с помощью статистических методов (стандартная неопределенность типа А), либо иными методами (стандартная неопределенность типа В).
Стандартная неопределенность типа А uА(xj) j-й входной величины Xj выражается в виде СКО от среднеарифметического значения  j-й входной величины Xj, вычисленной по формуле:
где nj – количество единичных наблюдений j-й входной величины Xj,
i – порядковый номер единичного наблюдения j-й входной величины Xj,
xji – численное значение (результат) i-го единичного наблюдения j-й входной величины Xj.
Стандартная неопределенность типа В uВ(xj) j-й входной величины Xj, в случае, когда она является неисключенной систематической погрешностью, вычисляется по формуле:
где θj – границы неисключенной систематической погрешности j-й входной величины Xj,
αj – коэффициент, соответствующий принятому для данной j-й входной величины Xj закону распределения (нормального, равномерного, треугольного) внутри границ ±θj.
Для равномерного распределения αj =  , а для нормального αj = 2 (при вероятности 0,95).
Стандартная неопределенность типа В, как уже говорилось, зависит от закона распределения. При условии неполноты сведений о возможных значениях j-й входной величины Xj, чаще всего допускают, что они распределяются по равномерному (прямоугольному) закону в заданных границах относительно оценки xj этой самой величины Xj. При этом стандартная неопределенность типа В представляет собой оценку СКО.
5 Коэффициент чувствительности (sensitivity coefficient) cj показывает, насколько оценка y выходной величины Y изменяется при изменении оценки xj j-й входной величины Xj.
При прямых измерениях все коэффициенты чувствительности равны 1.
6 Вклад стандартной неопределенности (uncertainty component of the standard uncertainty) uj(y) j-й входной величины Xj в суммарную стандартную неопределенность u(y) измеряемой величины Y определяют по формуле:
где cj – коэффициент чувствительности j-й входной величины Xj,
u(xj) – стандартная неопределенность j-й входной величины Xj.
7 Попарная корреляция (или статистическая зависимость) оценок x1, x2, … xm-1, xm соответствующих входных величин X1, X2, … Xm-1, Xmвыражается с помощью коэффициентов корреляции.
Коэффициент корреляции rjk оценок xj и xk j-й и k-й входных величин Xj и Xk соответственно выражает их статистическую зависимость, является безразмерной величиной и находится в пределах от –1 до 1 включительно. При rjk = 0 корреляция отсутствует. При зависимости обеих оценок xj и xk входных величин Xj и Xk только от одной переменной коэффициент корреляции rjk =1 или rjk = –1.
Корреляция присутствует либо при одновременном наблюдении j-й и k-й входных величин Xj и Xk в одном и том же процессе измерения, либо при зависимости обеих входных величин Xj и Xk от одних и тех же независимых между собой переменных (не путать зависимость переменных с зависимостью входных величин!).
8 Суммарная стандартная неопределенность u(y) (неопределенность измерений) измеряемой величины Y, в случае отсутствия корреляции между оценками x1, x2, … xm-1, xm входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm, определяется по формуле:
где uj(y) – вклад стандартной неопределенности j-й входной величины Xj в суммарную стандартную неопределенность u(y) выходной величины Y,
u(xj) – стандартная неопределенность j-й входной величины Xj,
m – количество оценок x1, x2, … xm-1, xm входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm,
cj – коэффициент чувствительности j-й входной величины Xj,
j – порядковый номер вклада стандартной неопределенности j-й входной величины Xj.
При наличии корреляции между оценками xj и xk соответствующих входных величинам Xj и Xk суммарная стандартная неопределенность u(y) выходной величины Y определяется по формуле:
где uj(y) – вклад стандартной неопределенности j-й входной величины Xj в суммарную стандартную неопределенность u(y) выходной величины Y,
u(xj) – стандартная неопределенность j-й входной величины Xj,
u(xk) – стандартная неопределенность k-й входной величины Xk,
m – количество оценок x1, x2, … xm-1, xm входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm,
rjk – коэффициент корреляции оценок xj и xk j-й и k-й входных величин Xj и Xk,
cj – коэффициент чувствительности j-й входной величины Xj,
ck – коэффициент чувствительности k-й входной величины Xk,
j – порядковый номер расчетных характеристик j-й входной величины Xj,
k – порядковый номер расчетных характеристик k-й входной величины Xk.
Например, суммарная стандартная неопределенность u(y) для двух коррелированных оценок x1 и x2 входных величин X1 и X2 соответственно определяется по следующей формуле:
где u(x1) – стандартная неопределенность 1-й входной величины X1,
u(x2) – стандартная неопределенность 2-й входной величины X2,
r1,2 – коэффициент корреляции оценок x1 и x2 входных величин X1 и X2.
Если коэффициент корреляции r1,2 равен 1, то суммарная стандартная неопределенность u(y) выходной величины Y для двух оценок x1 и x2 коррелированных входных величин X1 и X2 определяется по формуле:
где c1 – коэффициент чувствительности 1-й входной величины X1,
c2 – коэффициент чувствительности 2-й входной величины X2.
А если коэффициент корреляции r1,2 равен –1, то суммарная стандартная неопределенность u(y) выходной величины Y для двух оценок x1 и x2 коррелированных входных величин X1 и X2 определяется по формуле:
9 Коэффициент охвата (coverage factor) k – представляет собой множитель, на который умножают стандартную суммарную неопределенность u(y) измеряемой величины Y с целью получения расширенной неопределенности измерения U.
Часто на практике для упрощения вычисления неопределенности результатов измерений делают предположение о нормальности закона распределения возможных значений измеряемой величины Y и полагают, что k=2 при p=0,95 или k=3 при p=0,99. Если же предполагают равномерность закона распределения, то k=1,65 при p=0,95 или k=1,71 при p=0,99.
В общем виде коэффициент охвата k вычисляется исходя из законов распределения входных величин X1, X2, … Xm-1, Xm и с учетом чисел степеней свободы vj для каждой j-й входной величины Xj.
При проведении многократных измерений и оценке стандартной неопределенности типа А число степеней свободы вычисляется по формуле:
где nj – количество единичных наблюдений j-й входной величины Xj.
При оценке стандартной неопределенности типа В число степеней свободы равно бесконечности.
10 Расширенную неопределенность измерения (expanded uncertainty) Up получают путем умножения суммарной стандартной неопределенности u(y) измеряемой величины Y на коэффициент охвата k:
11 Полный результат измерения должен содержать в себе оценку значения y выходной величины Y и значение расширенной неопределенности измерения U с указанием доли (coverage probability) p ожидаемых значений, которые могли бы быть обосновано ей (выходной величине) приписаны:
Данная запись буквально означает следующее: большая доля (95%) ожидаемых значений, которые могли бы быть обосновано приписаны к измеренной нами величине Y, находятся в интервале от (y – U) до (y + U).
При этом надо иметь в виду, что нахождение измеренной величины Y внутри интервала имеет некую вероятность (не путать с заданной долей ожидаемых значений!), меньшую единицы, и, следовательно, попадание Y вне заданного интервала не исключено, хотя и маловероятно.
Та же самая запись (2.11.1) по «старорежимному» читалась бы так: интервал от (y – U) до (y + U) с вероятностью 95% содержит истинное значение измеренной нами величины Y.
Однако так делать нельзя, поскольку даже при совпадении численных значений суммарной погрешности измерения и расширенной неопределенности того же самого измерения, их смысл различен по определению!
|
